Teorema Pythagoras dalam matematika Babel

Teorema Pythagoras dalam matematika Babel

Pada artikel ini kita akan mengkaji empat Babel tablet yang semua memiliki hubungan dengan teorema Pythagoras.
Tentu orang Babel yang akrab dengan teorema Pythagoras.
Sebuah terjemahan dari Babel tablet yang disimpan di museum Inggris berjalan sebagai berikut: --

4 adalah panjang dan 5 diagonal. Apa yang dimaksud dengan lebarnya?
Ukurannya tidak diketahui.
4 kali 4 adalah 16.
5 kali 5 adalah 25.
Anda mengambil 16 dari 25 dan masih ada 9.
Apa kali apa yang harus saya ambil untuk mendapatkan 9?
3 kali 3 adalah 9.
3 adalah lebarnya.

Semua tablet kita ingin mempertimbangkan secara rinci berasal dari kira-kira periode yang sama, yaitu bahwa dari Kekaisaran Babilonia Lama yang berkembang di Mesopotamia antara tahun 1900 SM dan 1600 SM.

Berikut ini adalah peta wilayah di mana Babel peradaban berkembang.

Artikel Babel matematika memberikan beberapa latar belakang bagaimana peradaban muncul dan latar belakang matematika yang mereka warisi.

Empat tablet yang menarik minat kita di sini kita akan memanggil Yale tablet YBC 7.289, Plimpton 322 (ditunjukkan di bawah), Susa tablet, dan Dhibayi Katakan tablet. Mari kita mengatakan sedikit tentang tablet ini sebelum menjelaskan matematika yang mereka mengandung.

Yale YBC 7.289 tablet yang kita menjelaskan adalah salah satu dari koleksi besar tablet diselenggarakan di koleksi Babel Yale Universitas Yale. Terdiri dari sebuah tablet yang muncul diagram.

Plimpton 322 adalah nomor 322 tablet dalam koleksi GA Plimpton bertempat di Columbia University.

Anda dapat melihat dari gambar yang di pojok kiri atas dari tablet rusak dan ada chip besar dari tablet sekitar tengah sisi kanan. Tanggal yang tidak diketahui secara akurat tetapi diletakkan di antara tahun 1800 SM dan 1650 SM. Ini dianggap hanya bagian dari tablet yang lebih besar, sisa yang telah hancur, dan mula-mula itu berpikir, karena banyak tablet seperti itu, menjadi catatan transaksi komersial. Namun dalam Neugebauer dan Sachs memberikan penafsiran baru dan sejak saat itu telah menjadi subyek sejumlah besar bunga.

Susa tablet yang ditemukan di kota sekarang Sstt di wilayah Khuzistan Iran. Kota adalah sekitar 350 km dari kota kuno Babel. Loftus WK diidentifikasi ini sebagai situs arkeologi yang penting pada awal 1850, tetapi penggalian itu tidak dilaksanakan sampai jauh kemudian. Tablet tertentu yang kepentingan kita di sini menyelidiki bagaimana menghitung jari-jari lingkaran melalui simpul dari sebuah segitiga sama kaki.

Akhirnya Dhibayi Katakan tablet adalah salah satu dari sekitar 500 tablet yang ditemukan di dekat Baghdad oleh arkeolog pada tahun 1962. Kebanyakan berhubungan dengan administrasi kota kuno yang berkembang pada masa Ibalpiel II Eshunna dan tanggal dari sekitar 1750. Tablet tertentu yang menjadi perhatian kita bukanlah salah satu yang berkaitan dengan administrasi, tapi satu yang menyajikan suatu masalah geometri yang meminta dimensi yang bidang persegi panjang dan diagonal diketahui.

Sebelum melihat matematika yang terkandung dalam empat tablet ini harus kita ucapkan sedikit tentang arti penting mereka dalam memahami lingkup Babel matematika. Pertama kita harus berhati-hati untuk tidak membaca ke awal ide-ide matematika yang kita dapat melihat dengan jelas saat ini belum yang tidak pernah dalam pikiran pengarang. Sebaliknya kita harus berhati-hati untuk tidak meremehkan pentingnya matematika hanya karena telah diproduksi oleh matematikawan yang berpikir sangat berbeda dari hari ini matematikawan. Sebagai komentar terakhir pada apa yang keempat tablet kepada kita dari Babel matematika kita harus berhati-hati untuk menyadari bahwa hampir semua prestasi matematika dari Babilonia, bahkan jika mereka semua dicatat pada tablet tanah liat, akan telah hilang dan bahkan jika keempat dapat dilihat sebagai sangat penting di antara mereka yang masih hidup mereka mungkin tidak mewakili yang terbaik dari Babel matematika.

Ada masalah memahami apa tablet YBC Yale adalah sekitar 7.289.

Berikut adalah Diagram dari Yale tablet

Telah di atasnya sebuah diagram dari sebuah persegi dengan 30 di satu sisi, Diagonal tertarik dalam dan dekat pusat ditulis 1,24,51,10 dan 42,25,35. Tentu saja nomor ini ditulis dalam angka Babilonia ke basis 60. Lihat artikel kami tentang angka-angka Babilonia. Sekarang angka Babilonia selalu ambigu dan tidak ada indikasi terjadi sebagai tempat berakhir bagian bilangan bulat dan bagian pecahan dimulai. Asumsi bahwa angka pertama adalah 1; 24,51,10 kemudian mengubah desimal ini memberikan 1,414212963 sementara √ 2 = 1,414213562. Menghitung 30 [ 1;24,51,10 ] memberikan 42; 25,35 yang merupakan angka kedua. Diagonal dari sebuah persegi samping 30 adalah ditemukan dengan mengalikan 30 dengan pendekatan √ 2.

Ini menunjukkan pemahaman yang baik teorema Pythagoras. Namun, bahkan lebih penting adalah pertanyaan bagaimana Babel menemukan pendekatan ini sangat baik untuk √ 2. Dugaan beberapa penulis, bahwa Babel menggunakan metode yang setara dengan metode Heron. Bahwa mereka mulai dengan menebak, katakanlah x. Mereka kemudian menemukan e = x ² - 2 yang merupakan kesalahan. Kemudian

(X - e / 2 x) ² = x ² - e + (e / 2 x) ² = 2 + (e / 2 x) ²

dan mereka mempunyai pendekatan yang lebih baik karena jika e adalah kecil maka (e / 2 x) ² akan sangat kecil. Melanjutkan proses dengan pendekatan yang lebih baik ini √ 2 yieds pendekatan yang masih lebih baik dan seterusnya. Bahkan ketika Yusuf menunjukkan , orang perlu hanya dua langkah dari algoritma jika seseorang mulai dengan x = 1 untuk mendapatkan pendekatan 1; 24,51,10.

Hal ini tentu mungkin dan Babel 'pemahaman quadratics menambahkan beberapa berat untuk klaim. Namun tidak ada bukti dari algoritma yang digunakan dalam kasus-kasus lain dan penggunaannya di sini harus tetap tidak lebih dari kemungkinan yang cukup terpencil. Bolehkah saya [EFR] mengusulkan sebuah alternatif. Babel dihasilkan tabel kuadrat, bahkan seluruh pemahaman mereka dibangun bulat perkalian kuadrat, jadi mungkin pendekatan yang lebih jelas bagi mereka akan membuat dua perkiraan, satu tinggi dan satu rendah mengatakan a dan b. Ambil rata-rata mereka (a + b) / 2 dan persegi itu. Jika persegi lebih besar daripada 2 kemudian mengganti b dengan lebih baik ini terikat, sementara jika alun-alun adalah kurang dari 2 kemudian mengganti dengan (a + b) / 2.

Lanjutkan dengan algoritma.Sekarang ini tentu membutuhkan lebih banyak langkah untuk mencapai sexagesimal pendekatan 1; 24,51,10. Bahkan dimulai dengan a = 1 dan b = 2 diperlukan 19 langkah sebagai tabel di bawah ini menunjukkan:

step decimal sexagesimal langkah desimal sexagesimal

1 1.500000000 1;29,59,59
2 1.250000000 1;14,59,59
3 1.375000000 1;22,29,59
4 1.437500000 1;26,14,59
5 1.406250000 1;24,22,29
6 1.421875000 1;25,18,44
7 1.414062500 1;24,50,37
8 1.417968750 1;25, 4,41
9 1.416015625 1;24,57,39
10 1.415039063 1;24,54, 8
11 1.414550781 1;24,52,22
12 1.414306641 1;24,51;30
13 1.414184570 1;24,51; 3
14 1.414245605 1;24,51;17
15 1.414215088 1;24,51;10
16 1.414199829 1;24,51; 7
17 1.414207458 1;24,51; 8
18 1.414211273 1;24,51; 9
19 1.414213181 1;24,51;10

Namun, Babel tidak takut komputasi dan mereka mungkin telah siap untuk melanjutkan perhitungan sederhana ini sampai jawaban benar untuk sexagesimal ketiga tempat.

Selanjutnya kita lihat lagi Plimpton 322

Kolom terakhir adalah yang paling sederhana untuk memahami untuk itu memberikan nomor baris sehingga berisi 1, 2, 3, ... , 15. , 15.. Fakta yang luar biasa dan Sachs Neugebauer tunjukkan bahwa dalam setiap baris kuadrat dari jumlah di kolom 3 c dikurangi kuadrat dari jumlah b pada kolom 2 adalah persegi sempurna, katakanlah h.

c ² - b ² = h ²

Jadi tabel daftar integer Pythagoras tiga kali lipat. Sekarang ini tidak sepenuhnya benar sejak Neugebauer dan Sachs percaya bahwa ahli Taurat membuat empat kesalahan transkripsi, dua di setiap kolom dan penafsiran ini diperlukan untuk membuat aturan kerja. Kesalahan dengan mudah terlihat tulus kesalahan, bagaimanapun, misalnya 8,1 telah disalin oleh juru tulis sebagai 9,1.

Kolom pertama lebih sulit untuk mengerti, terutama karena kerusakan pada tablet berarti bahwa bagian tersebut tidak ada. Namun, dengan menggunakan notasi di atas, terlihat bahwa kolom pertama hanya (c / h) ^2. Sekarang sejauh ini begitu baik, tetapi jika ada orang menuliskan tiga kali lipat Pythagoras satu akan menemukan yang jauh lebih mudah daripada mereka yang muncul dalam tabel. Misalnya, Pythagoras tripel 3, 4, 5 tidak muncul juga tidak 5, 12, 13 dan pada kenyataannya tripel Pythagoras terkecil yang tidak muncul adalah 45, 60, 75 (15 kali 3, 4, 5). Juga baris tidak muncul dalam urutan logis, kecuali bahwa angka-angka dalam kolom 1 menurun secara teratur. Teka-teki kemudian adalah bagaimana angka-angka itu ditemukan dan mengapa tiga kali lipat Pythagoras khusus ini diberikan dalam tabel.

Beberapa sejarawan telah menyarankan bahwa kolom 1 adalah berhubungan dengan fungsi garis potong. However, Namun, Yusuf mengatakan--

"This interpretation is a trifle fanciful."

Penafsiran ini agak aneh.

Zeeman telah membuat pengamatan yang menarik. Dia telah menunjukkan bahwa jika Babel menggunakan rumus h = 2 mn, b = m ² - n ^2, c = m ² + n ² untuk menghasilkan tiga kali lipat Pythagoras maka ada 16 persis tiga kali lipat memuaskan n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 °, dan tan ² t = h ² / b ² terbatas sexagesimal mengalami ekspansi (yang setara dengan m, n, b memiliki 2, 3, dan 5 sebagai satu-satunya perdana pembagi). Now 15 of the 16 Sekarang 15 dari 16 Pythagoras tiga kali lipat Zeeman syarat memuaskan muncul di Plimpton 322. Apakah yang paling awal dikenal klasifikasi teorema matematika? Meskipun saya tidak percaya bahwa Zeeman telah itu benar, aku memang merasa bahwa penjelasan harus berada di jalur yang benar.

Untuk memberikan pembahasan yang adil Plimpton 322 kita harus menambahkan bahwa tidak semua sejarawan setuju bahwa ini menyangkut Pythagoras tablet tiga kali lipat. Misalnya Exarchakos, mengklaim bahwa tablet terhubung dengan solusi dari persamaan kuadrat dan tidak ada hubungannya dengan Pythagoras tiga kali lipat: --

... ... we prove that in this tablet there is no evidence whatsoever that the Babylonians knew the Pythagorean theorem and the Pythagorean triads.

..............kami membuktikan bahwa dalam tablet ini tidak ada bukti sama sekali bahwa Babel tahu Teorema Pythagoras Pythagoras dan triad.

Saya merasa bahwa argumen lemah, terutama karena ada banyak tablet yang menunjukkan bahwa Babel periode ini memiliki pemahaman yang baik tentang teorema Pythagoras. Penulis lain, meskipun menerima bahwa Plimpton 322 adalah sebuah koleksi Pythagoras tiga kali lipat, berpendapat bahwa mereka, sebagai Viola menulis yang praktis dalam memberikan: --

... ... general method for the approximate computation of areas of triangles.

.........metode umum untuk perhitungan perkiraan daerah segitiga.

Tablet yang Susa menetapkan masalah tentang sebuah segitiga sama kaki dengan sisi-sisi 50, 50 dan 60. Masalahnya adalah menemukan jari-jari lingkaran melalui tiga simpul.

Berikut adalah Diagram Susa tablet

Di sini kita telah diberi label segitiga A, B, C dan pusat lingkaran O. . AD tegak lurus diambil dari A untuk memenuhi sisi SM. Sekarang segitiga ABD adalah segitiga siku kanan begitu, dengan menggunakan Teorema Pythagoras AD ² = AB ² - BD ^2, sehingga AD = 40. Biarkan jari-jari lingkaran oleh x.. Kemudian AO = OB = x dan OD = 40 - x. Menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga lagi OBD kita

x ² = OD ² + DB ^2.

Sehingga

x ² = (40 - x) ² + 30 ²

memberikan x ² = 40 ^2-80 x + x ² + 30 ²

dan sehingga 80 x = 2500 atau, dalam sexagesimal, x = 31; 15.

Akhirnya mempertimbangkan masalah dari Dhibayi Beritahu tablet. Itu meminta sisi persegi panjang yang bidang adalah 0; 45 dan yang diagonal adalah 1; 15. Sekarang ini kami adalah latihan yang cukup mudah dalam memecahkan persamaan. Jika sisi-sisinya adalah x, y kita xy = 0,75 dan x ² + y ² = (1.25) ^2. Kami akan menggantikan y = 0,75 / x ke persamaan kedua untuk memperoleh kuadrat dalam x ² yang mudah dipecahkan. Namun ini bukanlah metode solusi yang diberikan oleh Babel dan benar-benar tidak mengherankan karena terletak sangat bergantung pada pemahaman kita persamaan aljabar. Cara Katakan tablet Dhibayi memecahkan masalah ini, saya sarankan, sebenarnya jauh lebih menarik daripada metode modern.

Berikut adalah metode dari Dhibayi Beritahu tablet. Kita lestarikan notasi modern x dan y sebagai setiap langkah untuk kejelasan, tetapi kami melakukan perhitungan dalam notasi sexagesimal (karena tentu saja tidak tablet).

Hitunglah 2 xy = 1; 30.

Kurangi dari x ² + y ² = 1; 33,45 untuk mendapatkan x ² + y ^2-2 xy = 0; 3,45.

Ambil akar kuadrat untuk memperoleh x - y = 0; 15.

Bagilah dengan 2 untuk mendapatkan (x - y) / 2 = 0; 7,30.

Divide x ² + y ^2-2 xy = 0; 3,45 dengan 4 untuk mendapatkan x ² / 4 + y ² / 4 - xy / 2 = 0; 0,56,15.

Tambahkan xy = 0; 45 untuk mendapatkan x ² / 4 + y ² / 4 + xy / 2 = 0; 45,56,15.

Ambil akar kuadrat untuk mendapatkan (x + y) / 2 = 0; 52,30.

Pilih (x + y) / 2 = 0; 52,30 ke (x - y) / 2 = 0; 7,30 untuk mendapatkan x = 1.

Kurangi (x - y) / 2 = 0; 7,30 dari (x + y) / 2 = 0; 52,30 untuk mendapatkan y = 0; 45.

Maka persegi panjang memiliki sisi x = 1 dan y = 0; 45.

Bukankah ini sepotong indah matematika! Ingat bahwa itu adalah 3.750 tahun. Kita harus berterima kasih kepada Babel untuk merekam karya kecil ini pada tablet tanah liat bagi kita untuk menghargai hari ini.

Artikel oleh: JJ O'Connor dan EF Robertson
@met.